非线性介质中的旋转波与临界退化 Sobolev 不等式

我们研究非线性波动方程 $\partial_t^2 v - \Delta v +m v = |v|^{p-2} v$ 在 $\mathbb{R} \times \mathbf{B}$ 中的旋转波解，其中 $\mathbf{B} \subset \mathbb{R}^N$ 为单位球，并在 $\mathbb{R} \times \partial\mathbf{B}$ 上补充 Dirichlet 边界条件。根据所给定的旋转角速度 $\alpha$，这导出一个半线性椭圆或退化椭圆方程的 Dirichlet 问题。我们证明该问题由半空间中的一个相关的临界退化 Sobolev 不等式所支配。在证明该不等式及相关的极值函数存在性之后，我们推导出基态解存在的充分必要条件。此外，我们分析了在 $\alpha$、$m$ 和 $p$ 的何种条件下这些基态是非径向的，从而给出真正的旋转波。我们的方法可推广到环域及更一般的带边界的黎曼模型（包括半球面）中的相应 Dirichlet 问题。我们简要讨论这些问题，并表明它们与一族更大的相关临界退化 Sobolev 不等式有关。