关于中性多等位基因 Moran 模型的谱与遍历性

本文旨在完整描述中性多类型 Moran 模型生成元的特征值，并应用于研究其收敛至平稳分布的速度。我们所考虑的 Moran 模型一般为非可逆连续时间马尔可夫链，其平稳分布未知。具体而言，我们考虑 $N$ 个个体，每个个体属于 $K$ 种可能的等位类型之一。个体通过两种方式相互作用：独立的不可约突变过程，以及繁殖过程——随机选取一对个体，其中一个死亡，另一个繁殖。我们的主要结果以跳跃率矩阵的特征值给出了 Moran 过程无穷小生成元矩阵特征值的显式表达式。作为该结果的推论，我们研究了过程在总变差意义下收敛至平稳分布的行为，并给出了 Moran 过程混合时间的下界。此外，我们详细研究了具有亲本独立突变机制的中性多等位基因 Moran 模型的谱分解，该突变机制是使中性 Moran 过程可逆的唯一机制。在亲本独立突变下，我们还证明了当初始所有个体均为同一类型且个体数趋于无穷时，在卡方距离与总变差距离下存在截断现象(cutoff)。另外，在无繁殖情况下，我们证明了当初始所有个体均为同一类型时，亲本独立突变过程到平稳分布的总变差距离具有高斯型轮廓。