关于模一二次序列的 $\sigma$-配对相关密度

在本文中，我们研究序列 $\{ \theta_n\}_n$ 的 $\sigma$-配对相关密度 \begin{equation*}R_2^\sigma([a,b], \{ \theta_n \}_n, N)= \frac{1}{N^{2-\sigma}} \# \big \{ 1 \leq j \neq k \leq N \, \big| \, \theta_{j} - \theta_{k} \in \big [ \frac{a}{N^\sigma},\frac{b}{N^\sigma} \big ]+ \mathbb Z \big \} \end{equation*}，该序列在 $0 \leq \sigma <2$ 时模一均匀分布。$\sigma=1$ 的情形通常称为配对相关密度，且序列 $\{ n^2 \alpha \}_n$ 因与 Berry 和 Tabor 关于一般完全可积系统能级的猜想相关而备受关注。我们证明，若 $\alpha$ 对每个 $\epsilon>0$ 是 $3-\epsilon$ 型的丢番图数，则对任意 $0 \leq \sigma <1$ \begin{align*} \mathrm R_2^\sigma([a,b], \{ \alpha n^2 \}_n, N) \to b-a, \text{ 当 } N \to \infty. \end{align*} 此时，我们称该序列表现出 $\sigma$-配对相关。此外，我们证明对任意 $0 \leq \sigma < \frac{1}{4}(9 -\sqrt{17})=1.21922...$，存在满 Lebesgue 测度的集合使得序列 $\{ \alpha n^2 \}_n$ 表现出 $\sigma$-配对相关。