论 Strichartz 估计的尖锐性与紧李群谱

我们证明了任意紧连通单李群上的 Strichartz 估计。在 Bourgain 指数 $p=q$ 的对角情形中，我们给出了一个新的正则性阶 $s_{0}^{R}(p)$，其意义在于我们的（反向）Strichartz 估计在 $s> s_{0}^{R}(p)$ 且当 $p\rightarrow 2^{+}$ 时成立。正如预期，我们的 Sobolev 指数满足估计 $s_{0}^{R}(p)>s_{0}(d)=\frac{d}{2}-\frac{d+2}{p}.$ 受该领域近期进展的启发，本着 Bourgain 在周期 Schr"odinger 方程分析中发展的解析数论方法的精神，我们将紧李群上寻找 Strichartz 估计的问题与计数整数 $R$ 表示为 $s$ 个平方和 $r_{s,2}(R)$ 的问题联系起来，进而隐式地使用了 Hardy-Littlewood-Ramanujan 圆法中对 $r_{s,2}(R)$ 的著名界。在我们的分析中，我们显式地计算了 Laplacian 谱的参数化（模一个依赖于群几何的因子），以平方和表示。作为副产品，我们的方法也给出了所有紧连通单李群上 Laplacian 谱的显式表达式，并在边界情形 $p=2$ 下提供了若干 Strichartz 估计的结果。