关于S^4中双调和Clifford环面的第二变分

平坦环面${\mathbb T}={\mathbb S}^1\left (\frac{1}{2} \right ) \times {\mathbb S}^1\left (\frac{1}{2} \right )$容许一个到单位$4$维球面${\mathbb S}^4$的真双调和等距浸入$\Phi=i \circ \varphi$，其中$\varphi:{\mathbb T} \to {\mathbb S}^3(\frac{1}{\sqrt 2})$是极小Clifford环面，$i:{\mathbb S}^3(\frac{1}{\sqrt 2}) \to {\mathbb S}^4$是双调和小超球面。本文的第一个目标是计算真双调和浸入$\Phi$的双调和指标和零化度。之后，我们将详细研究广义Jacobi算子$I_2^\Phi$的核。我们将证明它包含一个方向，该方向容许一个一阶、二阶和三阶导数均为零且四阶导数为负的自然变分。在本文的第二部分，我们将分析$\varphi$对$\Phi$的双调和指标和零化度的具体贡献。在此背景下，我们研究更一般的复合$\tilde{\Phi}=\tilde{\varphi} \circ i$，其中$\tilde{\varphi}: M^m \to {\mathbb S}^{n-1}(\frac{1}{\sqrt 2})$，$m \geq 1$，$n \geq {3}$，是极小浸入，$i:{\mathbb S}^{n-1}(\frac{1}{\sqrt 2}) \to {\mathbb S}^n$是双调和小超球面。首先，我们将确定一个一般充分条件，保证$\tilde{\Phi}$的第二变分在$\mathcal{C}\big (\tilde{\varphi}^{-1}T{\mathbb S}^{n-1}\big )$上非负定。然后我们在Clifford环面上完成此类分析，并且作为补充结果，我们得到了$\varphi$的$p$-调和指标和零化度。在最后一节中，我们将一般结果与被等变第二变分研究可推导出的结果进行比较。