关于李群中交换性分类空间的第二同伦群

在本注记中，我们证明对于紧李群 $G$，其交换性分类空间 $B(2,G)$ 的第二同伦群包含一个同构于 $\pi_1(G)\oplus\pi_1([G,G])$ 的直和项，其中 $[G,G]$ 是 $G$ 的换位子群。这一结论源于关于 $E(2,G)$（典范包含 $B(2,G)\hookrightarrow BG$ 的同伦纤维）的类似命题。作为我们主要结果的推论，我们得到：若 $E(2,G)$ 是 2-连通的，则 $[G,G]$ 是单连通的。这最后一个结果完善了 $E(2,G)$ 的高连通性如何类似于紧李群 $G$ 的 $[G,G]$ 的高连通性。