关于 Lie 群中交换元素空间的第二同伦群

设 $G$ 为紧连通 Lie 群，$n\geqslant 1$ 为整数。考虑 $G$ 中有序交换 $n$-元组构成的空间 $Hom(\mathbb{Z}^n,G)$，及其在伴随作用下的商 $Rep(\mathbb{Z}^n,G):=Hom(\mathbb{Z}^n,G)/G$。在本文中我们研究并在许多情形计算了同伦群 $\pi_2(Hom(\mathbb{Z}^n,G))$。对于单连通单 $G$，我们证明 $\pi_2(Hom(\mathbb{Z}^2,G))\cong \mathbb{Z}$ 且 $\pi_2(Rep(\mathbb{Z}^2,G))\cong \mathbb{Z}$，并且在这些群上商映射 $Hom(\mathbb{Z}^2,G)\to Rep(\mathbb{Z}^2,G)$ 诱导出 $G$ 的 Dynkin 指标的乘法。更一般地，我们证明若 $G$ 为单群且 $Hom(\mathbb{Z}^2,G)_{1}\subseteq Hom(\mathbb{Z}^2,G)$ 为平凡同态的道路分支，则 $H_2(Hom(\mathbb{Z}^2,G)_{1};\mathbb{Z})$ 是 $\pi_1(G)^2$ 的 Schur 乘子被 $\mathbb{Z}$ 的扩张。我们应用我们的计算证明若 $B_{com}G_{1}$ 为恒等分支处交换性的分类空间，则 $\pi_4(B_{com}G_{1})\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$，并构造了球面 $\mathbb{S}^{4}$ 上平凡主 $G$-丛上非平凡转移交换结构的例子。