关于交换性分类空间的模-ℓ同调

我们研究交换性分类空间 $B(\mathbb{Z}, G)$ 在素数 $\ell$ 处的模-$\ell$ 同伦型。我们证明当 $G$ 为紧连通李群时，$B(\mathbb{Z}, G)$ 的模-$\ell$ 同调依赖于 $BG$ 的模-$\ell$ 同伦型，其意义在于：对此类群而言，一个模-$\ell$ 同调同构 $BG \to BH$ 会诱导出模-$\ell$ 同调同构 $B(\mathbb{Z}, G) \to B(\mathbb{Z}, H)$。为证明此结果，我们基于 Adem 与 Gómez 的思想，将 $B(\mathbb{Z}, G)$ 表示为闭交换子群拓扑偏序集上的同伦余极限并加以研究。我们还研究了李群 $G(\mathbb{C})$ 与局部有限群 $G(\bar{\mathbb{F}}_p)$（其中 $G$ 为 Chevalley 群）的模-$\ell$ 型之间的关系。我们发现著名的 Friedlander--Mislin 结果在 $B(\mathbb{Z}, G)$ 上的朴素类比不成立，但证明在对 $B(\mathbb{Z}, G)$ 上 $G$ 作用取同伦商后该类比成立。