李群中交换元素空间的挠率

设$G$为紧连通李群,$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}^m,G)$为$G$中两两交换的$m$-元组空间。我们研究如下问题:$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}^m,G)_1$(即包含元素$(1,\ldots,1)$的$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}^m,G)$的连通分支)的同调在哪些素数$p$处具有$p$-挠率。我们将证明,当$m\ge 2$时,$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}^m,G)_1$在同调中具有$p$-挠率当且仅当$p$整除$G$的 Weyl 群的阶,其中$G=SU(n)$及某些例外群。我们还将计算$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}^m,G)_1$的顶级同调,并证明只要$G$为单连通且单的,$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}^m,G)_1$在同调中总有2-挠率。我们的计算基于$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}^m,G)_1$的一个新的同伦分解,该分解本身具有独立意义,并使我们可以将同调中的挠率与 Weyl 群的组合性质联系起来。