关于 ${\bf L^1(\mu)}$ 的 Riesz 对偶

在本文中，$(X,\, \mathcal{A},\, \mu)$ 是一个测度空间。经典结果表明，在 $\mu$ 为 $\sigma$-有限的情形下，$L^1(\mu)^{\sim}$ 与 $L^{\infty}(\mu)$ 之间存在 Riesz 同构。一般地，仍存在自然的 Riesz 同态 $\Phi: L^{\infty}(\mu) \to L^1(\mu)^{\sim}$，但其未必单射或满射。我们证明 $\Phi$ 的像始终是 $L^1(\mu)^{\sim}$ 中序稠密的 Riesz 子空间。若 $\mu$ 为半有限，则 $L^1(\mu)^{\sim}$ 是 $L^{\infty}(\mu)$ 的 Dedekind 完备化。