可测函数向量格的刻画

给定概率测度空间 $(X,\Sigma,\mu)$，众所周知，等价类可测函数 $f: X \to \mathbf{R}$ 的 Riesz 空间 $L^0(\mu)$ 是普遍完备的，且常值函数 $\mathbf{1}$ 是弱序单位。此外，线性泛函 $L^\infty(\mu)\to \mathbf{R}$ 定义为 $f \mapsto \int f\,\mathrm{d}\mu$ 是严格正且序连续的。此处我们特别证明，其逆命题成立，即任何具有弱序单位 $e>0$ 的普遍完备 Riesz 空间 $E$，若在由 $e$ 生成的主理想上存在一个严格正序连续线性泛函，则对某个概率测度空间 $(X,\Sigma,\mu)$，$E$ 格同构于 $L^0(\mu)$。