关于Dirichlet $L$-函数扭曲二阶矩的互反律

我们研究了Conrey~\cite{Con07}和Young~\cite{You11a}所考虑的、关于被$\chi(a)$模素数$q$扭曲的Dirichlet $L$-函数二阶矩的互反律。我们证明该互反律中的误差项可关于实拓扑扩展为$a/q$的连续函数。此外，我们推广了这一互反结果，证明了一个也涉及移位矩的精确公式。我们还给出了一个包含$a/q$的连分数展开系数的扭曲二阶矩表达式，并由此改进了Selberg关于带双重扭曲的Dirichlet $L$-函数二阶矩的经典结果。最后，我们得到了一个将Dirichlet $L$-函数的移位二阶矩与Estermann函数联系起来的公式。在特定情况下，该结果可用于获得一些简单的显式精确矩公式。