关于团因子的乘积维数

图 $G$ 的乘积维数是 $G$ 的适当顶点染色的最小可能数目，使得对于每一对不相邻顶点 $u,v$，至少存在一种染色使得 $u$ 和 $v$ 颜色相同。由 $r$ 个大小均为 $s$ 的团组成的顶点不交并的乘积维数 $Q(s,r)$ 是多少？Lov\'asz、Ne\v{s}et\v{r}il 和 Pultr 在 1980 年证明对于 $s=2$ 它为 $(1+o(1)) \log_2 r$，并提出了对更大的 $s$ 估计此函数的问题。我们证明对于每个固定的 $s$，答案仍然是 $(1+o(1)) \log_2 r$，其中 $o(1)$ 项随着 $r$ 趋于无穷而趋于 $0$，但当 $s$ 和 $r$ 一同增长时确定 $Q(s,r)$ 渐近行为的问题仍然开放。该证明结合了线性代数工具与 Gargano、K\"orner 和 Vaccaro 关于有向图 Sperner 容量的方法。