用少数几种颜色的单色分支进行顶点覆盖

1995年，Erdős 和 Gyárfás 证明了在 $K_n$ 边的每种 $2$-染色中，都存在一个由 $2\sqrt{n}$ 条同色单色路径构成的顶点覆盖，这在常数因子范围内是最优的。本文的主要目标是研究该问题的自然多色推广：给定两个正整数 $r,s$，求最小的数 $\text{pc}_{r,s}(K_n)$，使得在 $K_n$ 边用 $r$ 种颜色的每种染色中，都存在 $K_n$ 的一个由 $\text{pc}_{r,s}(K_n)$ 条单色路径构成的顶点覆盖，这些路径总共至多使用 $s$ 种不同颜色？对于固定的整数 $r>s$ 且当 $n\to\infty$ 时，我们证明 $\text{pc}_{r,s}(K_n) = \Theta(n^{1/\chi})$，其中 $\chi=\max{\{1,2+2s-r\}}$ 是 Kneser 图 $\text{KG}(r,r-s)$ 的色数。更一般地，若用具有固定独立数 $\alpha$ 的任意 $n$ 顶点图代替 $K_n$，则我们有 $\text{pc}_{r,s}(G) = O(n^{1/\chi})$，此时 $\chi$ 是 Kneser 超图 $\text{KG}^{(\alpha+1)}(r,r-s)$ 的色数。这一结果是最优的，因为存在独立数为 $\alpha$ 的图使得 $\text{pc}_{r,s}(G) = \Omega(n^{1/\chi})$。这与 $r=s$ 的情形形成鲜明对比，由 Sárközy (2012) 的一个结果可知，$\text{pc}_{r,r}(G)$ 仅依赖于 $r$ 和 $\alpha$，而不依赖于顶点数。我们针对以下情形获得了类似结果：用单色圈覆盖具有有界独立数的图，或用单色 $d$-正则图覆盖完全图，以代替使用路径。