多色之力

一个经典问题由Gerencsér和Gyárfás于1967年提出，问在$K_n$的任意$r$-边着色中，我们能保证多大的单色连通分支？我们考虑在$K_n$的任意$r$-边着色中，若允许自己使用至多$s$种颜色，能保证多大的连通分支。这实际上是Bollobás约20年前提出的一个更一般问题的特例，该问题在同一设定下要求一个$k$-连通子图。我们通过将其确定到对数项以内（在$n$足够大时）完成了该问题近似行为的图景。我们对某些区间获得了更精确的结果，解决了Liu、Morris和Prince于2007年提出的一个问题，并以强形式反驳了他们提出的一个猜想。我们还考虑了Erdős和Rényi于1956年首次考虑的一个问题在相似方向上的推广，他们考虑给定$n$和$m$，覆盖$K_n$所有边所需的最少$m$-团数是多少？该问题本质上等价于：在$K_n$的任意$r$-边着色中，必然与某颜色的至少一条边关联的顶点的极小值是多少。我们考虑若允许自己使用至多$s$种颜色会发生什么。我们对大$n$下该问题答案获得了更完整的理解，特别地对所有$1\le s \le r$将其确定到常数因子以内，并对包括几乎整个区间的正确渐近行为在内的多个范围获得了更精确的结果。