Mike-Farmer 模型中股票收益率的概率分布

近期，Mike 和 Farmer 构建了一个非常强大且现实的行为模型，基于纯订单驱动市场中订单提交和撤销的经验规律，模拟股价形成的动态过程；该模型不仅能成功复现收益率的整个分布（包括众所周知的幂律尾部），还能复现其他几个重要的典型事实。Mike-Farmer (MF) 模型包含三个关键要素：由 Hurst 指数 $H_s$ 表征的订单符号长记忆性、相对于同一最优价格的相对订单价格 $x$ 的分布（由 Student 分布或 Tsallis $q$-Gaussian 描述），以及订单撤销动力学。他们表明，Hurst 指数 $H_s$ 和 Student 分布的自由度 $\alpha_x$ 的不同取值总能产生具有不同尾部指数 $\alpha_r$ 的收益率分布 $f(r)$ 的幂律尾部。在本文中，我们基于对 $f(x)$ 左半部分 $f_L(x)$（$x<0$）和右半部分 $f_R(x)$（$x>0$）不同组合的广泛模拟，研究了 MF 模型中收益率分布 $f(r)$ 幂律尾部的起源。我们发现，仅当 $f_L(x)$ 具有幂律尾部时才会出现幂律尾部，无论 $f_R(x)$ 是否具有幂律尾部。此外，我们发现 MF 模型中不同时间尺度下的收益率分布可以很好地用 Student 分布建模，其尾部指数接近著名的立方律，并随时间尺度增加而增大。