关于 Kirillov 特征标公式的正定性

我们给出对 Kirillov 特征标在连通、单连通幂零李群 $G$ 上光滑紧支函数卷积代数上正定性的直接证明。然后我们利用该正定性结果构造 $G\times G$ 的一个表示，并建立我们的表示与 $G$ 的底层表示上的 Hilbert–Schmidt 算子之间的 $G\times G$-等变等距同构。事实上，我们提供了一个更一般的框架，在其中我们在附加假设下建立了对诸如 $\operatorname{SL}(2, \mathbb{R})$ 等群的余伴随轨道的 Kirillov 特征标正定性，这些假设在幂零情形自动满足。这些假设包括实极化的存在性和 Pukanzsky 条件。