关于数域中等分布的最优速率

设$k$为一个数域。我们研究$\mathcal O_k$的有限集相对于素理想幂同时等分布的程度。我们的主要结果表明，除非$k=\mathcal Q$，否则由局部约束所预测的在$\mathcal O_k$中的最优等分布速率无法达到。我们推得$\mathcal Q$是唯一一个其整数环$\mathcal O_k$允许同时$\frak p$-序的数域，回答了Bhargava的一个问题。在此过程中，我们建立了不等式$|N_{k/\mathcal Q}(x(a-x))|\leq X^2$在$x\in \mathcal O_k$中解个数的非平凡上界，其中$X$为正实参数，$a\in\mathcal O_k$的范数至少为$e^{-B}X$（$B$为固定实数）。后者可转化为$\mathcal O_k$中某类单位方程解的平均个数的上界。