算术约束下标准二次型表示整数的均匀分布

我们研究在由 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^d$ 给定的算术约束下，对形如 $n= x_1^2 + \cdots + x_d^2$ 的整数的均匀分布问题。解决该问题的第一步是构建其模形式，其傅里叶展开系数对应于标准二次型在 $\mathbb{Z}^d$ 中受上述算术约束限制下的计数问题。这些模形式的弱模性质允许我们使用表示论来确定我们的模形式对应的同余子群。我们随后建立了函数在 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^d$ 上定义驰留形式的必要充要条件。最终我们得出结论，在 $d \geq 4$ 时，这种均匀分布现象在 $p+1$ 个轨道上局部发生。