Banach 空间中非置换等价序列的个数

本文包含关于 0 与 1 序列间最终一致关系 $E_0$ 到 Banach 空间中基本序列间置换等价关系的 Borel 化简的结果。为使摘要更清晰，我们用实数分类来表述这些结果。若 $R$ 是 Polish 空间 $X$ 上的某个（解析）等价关系，称 $R$ 是可分类的（由实数）若存在从 $X$ 到实直线的 Borel 映射 $g$，使得 $x R x'$ 当且仅当 $g(x)=g(x')$。若 $R$ 不可分类，则必有 $2^{\omega}$ 个 $R$-类。有一个猜想：任何其子空间间同构可分类的可分 Banach 空间必同构于 $l_2$。我们证明如下结果：- 归一化基本序列间置换等价关系 $\sim^{perm}$ 是解析非 Borel 的；- 若 $X$ 是具 Schauder 基 $(e_n)$ 的 Banach 空间，且其归一化块序列间 $\sim^{perm}$ 可分类，则对某个 $1 \leq p <+\infty$，$X$ 是 $c_0$ 或 $\ell_p$ 饱和的；- 若 $(e_n)$ 是收缩无条件的，且 $X$ 中（相应地为 $X^*$ 中）归一化不相交支撑序列间 $\sim^{perm}$ 可分类，则 $(e_n)$ 等价于 $c_0$ 或 $\ell_p$ 的单位向量基；- 若 $(e_n)$ 是无条件的，则要么 $X$ 同构于 $l_2$，要么 $X$ 包含 $2^{\omega}$ 个由两两非置换等价的归一化无条件基张成的子空间或 $2^{\omega}$ 个商空间。