布朗三角剖分与碎裂过程中大三角形的数量

布朗三角剖分是由Aldous引入的单位圆盘的一个随机紧子集。对于 $\epsilon>0$，令 $N(\epsilon)$ 为布朗三角剖分中尺寸（以不同方式度量）大于 $\epsilon$ 的三角形的数量。我们确定了当 $\epsilon \to 0$ 时 $N(\epsilon)$ 的渐近行为。为得到此结果，我们提出了碎裂过程中“大”位错的新概念。我们开发了一种研究大位错数量的方法，该方法广泛适用于一般的自相似碎裂过程。由于布朗三角剖分中的三角形与某个自相似碎裂过程的位错之间存在双射关系，该技术使我们能够研究 $N(\epsilon)$。我们的方法还提供了一种获取布朗三角剖分中最长弦长度分布的新途径。我们进一步将结果扩展到由Kortchemski引入的更一般的测地稳定层状结构类。