二维体积冻结渗流：介观团簇的去集中与广泛存在

冻结渗流在二叉树上由 Aldous 约十五年前受溶胶-凝胶转变启发引入。我们研究三角格点上该模型的一个版本，其中连通分支一旦包含至少 $N$ 个顶点（对于某参数 $N \geq 1$）就停止生长（“冻结”）。该过程与此前研究的直径冻结过程有本质不同行为：特别地，我们证明许多（且随着 $N \to \infty$ 越来越多）环绕原点的冻结团簇相继出现，每个新团簇的直径远小于前一个。这种尺度分离是有用的，它有助于将依赖于 $N$ 的足够大（但不过大）有限域中的过程近似为一个马尔可夫链。这使我们确立了原点周围冻结团簇孔洞大小的去集中性质。对于全平面过程，我们随后证明它可与大有限域中的过程比较，从而去集中性质在此情形也成立。特别地，我们得到（当 $N \to \infty$ 时）以高概率原点不属于最终构型中的冻结团簇。本工作需要对近临界渗流的新性质，我们在此过程中予以发展，这些性质本身也很有趣：特别地，一个涉及渗流概率 $\theta(p)$ 当 $p \searrow p_c$ 的渐近公式，以及无限团簇中大孔洞的正则性质。体积冻结渗流也对森林火灾过程提供了见解，其中闪电以微小速率独立击中每棵树，并立即烧毁其整个连通分支。