二维冻结渗流与森林火灾中的近临界雪崩

我们研究三角晶格上两个紧密相关的过程：冻结渗流，其中占据顶点连通分量一旦包含至少$N$个顶点便冻结(停止生长)；森林火灾过程，其中连通分量以速率$\zeta > 0$燃烧(变为完全空置)。本文中我们证明，当占据点密度趋近Bernoulli渗流的临界阈值时，两个过程均展现出引人注目的现象：近临界“雪崩”的出现。更具体地，我们分析了雪崩，直至各模型的自然特征尺度，这构成了理解此类过程自组织临界行为的重要一步。对于冻结渗流，我们特别证明：给定顶点周围的冻结簇数目当$N \to \infty$时渐近等价于$(\log(96/5))^{-1} \log \log N$。类似机制支撑森林火灾，使我们能获得这些过程的类似结果，但需付出大量额外工作：燃烧簇数目当$\zeta \searrow 0$时等价于$(\log(96/41))^{-1} \log \log (\zeta^{-1})$。此外，几乎所有此类簇的体积为$\zeta^{- 91/55 + o(1)}$。对于森林火灾，arXiv:1810.08181中引入的含杂质渗流过程在我们的证明中起关键作用，我们将该文中的结果扩展至正杂质密度。另外，我们开发了一种新颖的探索过程，以将全平面森林火灾与有限但足够大(相较于特征尺度)区域中的过程相耦合。