含重尾杂质的近临界渗流、森林火灾与冻结渗流

考虑“良好”平面晶格上的临界点渗流：每个顶点以概率 $p = p_c$ 占据，以概率 $1 - p_c$ 空置。现在，假设额外以某小概率独立产生空位（“洞”或“杂质”），即参数 $p_c$ 被替换为 $p_c - \varepsilon$（某小 $\varepsilon > 0$）。Kesten 的一个著名结果非正式地说，在特征长度 $L(p_c - \varepsilon)$ 以下的尺度上，连通概率保持与之前同阶。我们证明了一个实质且精细的推广，适用于杂质不仅为微观且允许为“介观”的情形。此推广本身亦具趣味，由我们对森林火灾（或传染病）模型的研究所推动。在这些模型中，所有顶点初始为空置，然后以速率 $1$ 变为占据。若占据顶点被闪电击中（以通常极小的速率 $\zeta$ 发生），其整个占据簇立即燃烧，从而所有顶点变为空置。我们关于含杂质渗流的结果被证明对分析这些森林火灾模型在临界时间附近及之后（即无火灾森林中出现无限树簇之后的时间）的行为至关重要。特别地，我们证明（目前对烧树不恢复的情形）存在一列“例外尺度”（$\zeta$ 的函数）。对于具有此类边长的盒子中的森林，当 $\zeta \searrow 0$ 时火灾的影响不消失。