论 Virasoro 代数的性质

Virasoro 代数中的乘法 $$[e_p, e_q] = (p - q) e_{p+q} + \theta \left(p^3 - p\right) \delta_{p + q}, \qquad p, q \in {\mathbf Z},$$ $$[\theta, e_p] = 0,$$ 源于一个拟结合代数中的交换子 $[e_p, e_q] = e_p * e_q - e_q * e_p$，该代数的乘法为 \renewcommand{\theequation}{$*$} \be \ba{l} \ds e_p * e_q = - {q (1 + \epsilon q) \over 1 + \epsilon (p + q)} e_{p+q} + {1 \over 2} \theta \left[p^3 - p + \left(\epsilon - \epsilon^{-1} \right) p^2 \right] \delta^0_{p+q}, \vspace{3mm}\\ \ds e_p * \theta = \theta* e_p = 0. \ea \ee 拟结合代数 ${\cal R}$ 中的乘法满足性质 \renewcommand{\theequation}{$**$} \be a * (b * c) - (a * b) * c = b * (a * c) - (b * a) * c, \qquad a, b, c \in {\cal R}. \ee 该性质是 Lie 代数 {\it Lie}$({\cal R})$ 具有相空间的充分必要条件。上述公式被放入一个上同调框架中，其中相关的复形不同于 Hochschild 复形，即便相关的拟结合代数 ${\cal R}$ 变为结合代数时亦如此。上述公式 $(*)$ 也有一个微分-变分对应物。