近导子及其在李代数中的应用

E.B. Vinberg的代数准导子理论被扩展到更广泛的近导子框架。这加深了泊松几何与李理论之间的联系。虽然基本结果适用于任意代数，但我们实质性的应用涉及李代数 $\mathfrak q$ 的多项式代数 $(\mathcal S(\mathfrak q),\{\ ,\,\})$。我们发展了一种通过导子的平方获取准导子的方法，从而为单李代数提供了准导子。我们证明了：（1）$(\mathcal S(\mathfrak q),\{\ ,\,\})$ 的近导子 $D$ 导出了 $\mathfrak q^*$ 上的一族相容泊松括号；（2）利用 $D$ 可以自然地构造 $\mathcal S(\mathfrak q)$ 的泊松交换子代数。特别关注由 $\mathfrak q$ 的近导子诱导的 $(\mathcal S(\mathfrak q),\{\ ,\,\})$ 的近导子。这提供了一些旧的和新的相容泊松括号族。我们还比较了 $\mathfrak q$ 的近导子与 $\mathfrak{gl}(\mathfrak q)$ 中Nijenhuis算子的性质。