关于 Poisson 过程矩距离的研究

考虑直线上到达率为 $\lambda>0$ 且到达时间分别为 $X_1,X_2,\dots$ 和 $Y_1,Y_2,\dots$ 的两个独立同分布 Poisson 过程之间的距离。我们给出了对于任意整数 $k\ge 1, r\ge 0$ 和 $a\ge 1$，距离的 $a$ 次幂期望 $\E{|X_{k+r}-Y_k|^a}$ 的解析公式。我们将两个独立同分布 Poisson 过程到达时间差的 $a$ 次幂期望表示为 Pochhammer 多项式的组合。特别地，对于 $r=0$ 和任意正整数 $a$，以下恒等式成立：$$\E{|X_k-Y_k|^a}=\frac{a!}{\lambda^a}\frac{\Gamma\left(\frac{a}{2}+k\right)}{\Gamma(k)\Gamma\left(\frac{a}{2}+1\right)},$$ 其中 $\Gamma(z)$ 为 Gamma 函数。