Ostrovsky 方程中波列的调制

我们考虑 Ostrovsky 方程任意振幅周期行波解的非线性波调制，该方程作为有限深度旋转流体中小振幅、弱非线性表面和内部重力波单向传播的模型出现。尽管具有渐近小振荡振幅的此类波的调制（即所谓的 Stokes 波）已在多项研究中被考察，但我们的目标是理解一般振幅波列的调制动力学。为此，我们首先使用 Whitham 调制理论推导出一个无色散拟线性偏微分方程组，该方程组预期建模给定波列基本特征的缓慢演化。在实践中，给定波列的调制稳定性或不稳定性被认为分别由所得 Whitham 调制方程组的双曲性或椭圆性决定。然后，我们使用严格的谱摄动理论研究 Ostrovsky 方程给定波列解的谱（线性化）稳定性问题，将相关 Whitham 系统的双曲性或椭圆性与底层波的严格谱稳定性问题直接联系起来。具体而言，我们证明了 Whitham 系统的严格双曲性意味着谱平面中原点附近的谱稳定性，即所谓的谱调制稳定性，而椭圆性意味着底层波列的谱不稳定性。