Camassa-Holm方程中波列的调制稳定性

本文研究了Camassa-Holm（CH）方程任意振幅周期行波解的非线性波调制。波列的缓慢调制通常通过Whitham调制理论来描述，该理论在主导阶上通过一个无耗散的拟线性偏微分方程组来模拟波的基本特征（如波的频率、质量和动量）的缓慢演化。这种缓慢调制波的调制稳定性或不稳定性被认为由该Whitham调制方程组的双曲性或椭圆性决定。在Abenda和Grava的工作中，CH方程的Whitham调制系统通过平均拉格朗日方法导出，并进一步证明其始终是双曲的（尽管可能不满足严格双曲性）。在本工作中，我们通过非线性WKB/多尺度展开，独立推导了CH方程的Whitham调制系统。我们进一步建立了CH方程的Whitham调制方程与底层周期波列对局部（即在线上可积的）扰动谱稳定性之间的严格联系。特别地，我们证明了Whitham系统的严格双曲性意味着谱平面原点邻域内的谱稳定性，即谱调制稳定性。作为我们理论的一个例证，我们研究了关于其总质量具有渐近小振荡的波列的Whitham调制系统。