Whitham 型方程之 Whitham 调制方程的严格证明

我们证明，形式 Whitham 调制理论的调制不稳定性判据与广义 Whitham 方程周期行波解的长波长扰动的谱稳定性相一致。我们使用标准 WKB 过程推导出一个由三个 Whitham 调制方程组成的拟线性系统，以周期行波解的质量、动量与波数为变量写出。我们在严格的线性化算子谱扰动中使用相同的量作为参数，从而能够追踪零特征值随 Floquet 参数的分岔。我们证明 Whitham 系统的双曲性是线性化系统中存在纯虚特征值的必要条件，因此也是底层波调制稳定性的前提。由于广义 Whitham 方程具有哈密顿结构，我们得出结论：严格双曲性是调制稳定性的充分条件。