基于 Bloch 分解的周期 GKdV 波调制方程与稳定性

在本文中，我们补充了 Bronski 和 Johnson 以及 Johnson 和 Zumbrun 关于广义 Korteweg-de Vries 方程空间周期行波解调制稳定性的近期结果。在先前的工作中，通过严格的 Evans 函数计算表明，导致 Whitham 系统的形式慢调制近似准确地描述了对长波长扰动的谱稳定性。在此，我们不借助 Evans 函数，而是使用直接的 Bloch 展开方法和谱扰动分析重现了这一结果。该方法的优点在于它同样适用于更一般的多周期设定，而在该设定下尚未设计出便于计算的 Evans 函数。特别地，我们通过分析在原点及零 Floquet 参数邻域内从原点分岔出的全特征空间上的投影子，补充了由 Bronski 和 Johnson 描述的调制稳定性图景。我们证明所得线性系统在领头阶且相差共轭的意义下等价于 Whitham 系统，因此该系统的特征多项式（在领头阶上）与通过 Evans 函数计算导出的线性化色散关系相一致。