关于序列的 $n$ 次根的 log-concavity（对数凹性）

近年来，$\{\sqrt[n]{S_n}\}_{n\geq 1}$ 的对数凹性受到了大量关注。最近，Sun 在其新书中提出如下猜想：序列 $\{\sqrt[n]{a_n}\}_{n\geq 2}$ 与 $\{ \sqrt[n]{b_n}\}_{n\geq 1}$ 是对数凹的，其中 $$a_n:= \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{{n-1\choose k}^2{n+k\choose k}^2 }{4k^2-1}$$ 且 $$b_n:= \frac{1}{n^3}\sum_{k=0}^{n-1} (3k^2+3k+1){n-1\choose k}^2 {n+k\choose k}^2.$$ 本文使用半自动与解析两种方法证实了 Sun 的猜想。半自动方法依赖于我们给出的关于 $\{\sqrt[n]{S_n}\}_{n\geq 1}$ 对数凹性的一个判据以及 Hou 和 Zhang 的 mathematica 包，而解析方法依赖于 Xia 的一个结果。