关于 $\beta$-Dyson 布朗运动三对角模型极限的研究

在先前的工作中，Edelman 和 Dumitriu 描述了将 Householder 三对角化算法应用于 G$\beta$E 随机矩阵的结果。所得的三对角系综对所有 $\beta>0$ 均有意义，其谱由所有 $\beta>0$ 的 $\beta$-系综给出。此外，三对角模型具有有用的随机算子极限，已在后续研究中被引入和分析。在本工作中，我们类似地研究了将 Householder 三对角化算法应用于特征值由 $\beta$-Dyson 布朗运动支配的 G$\beta$E 过程的结果。我们提出了当 $n \to \infty$ 且 $k$ 保持固定时，$n \times n$ 三对角过程左上角 $k \times k$ minor 的显式极限。我们证明了 $\beta=1$ 时的结果，并为 $\beta=1,2,4$ 提供了数值证据。这引导我们猜想一个动力学 $\beta$-随机 Airy 算子的形式，其最小 $k$ 个特征值按照 $\beta$-Dyson 布朗运动最大 $k$ 个特征值在 $n \to \infty$ 极限下的中心化和重缩放演化。