关于高阶张量的模最大多线性奇异值

令 $\sigma_n$ 表示 $I_1\times\dots \times I_N$ 张量 $\mathcal T$ 的模-$n$ 最大多线性奇异值。我们证明 $$\sigma_1^2+\dots+\sigma_{n-1}^2+\sigma_{n+1}^2+\dots+\sigma_{N}^2\leq (N-2)\|\mathcal T\|^2 + \sigma_n^2,\quad n=1,\dots,N, \qquad\qquad (1)$$ 其中 $\|\cdot\|$ 表示 Frobenius 范数。我们还表明，至少对于立方张量，逆问题总有解。即，对于满足 (1) 以及平凡不等式 $\sigma_1\geq \frac{1}{\sqrt{I}}\|\mathcal T\|,\dots, \sigma_N\geq \frac{1}{\sqrt{I}}\|\mathcal T\|$ 的每组 $\sigma_1,\dots,\sigma_N$，总存在一个 $I\times \dots\times I$ 张量，其最大多线性奇异值等于 $\sigma_1,\dots,\sigma_N$。对于 $N=3$，我们证明若 (1) 中的等式 $\sigma_1^2+\sigma_2^2= \|\mathcal T\|^2 + \sigma_3^2$ 成立，则 $\mathcal T$ 必然等于一个多线性秩-$(L_1,1,L_1)$ 张量与一个多线性秩-$(1,L_2,L_2)$ 张量之和，并给出其所有多线性奇异值的完整描述。我们建立了与蜂窝图以及两个厄米特矩阵之和的特征值之间的联系。这似乎至少部分解释了为何关于多线性奇异值联合分布的结果如此稀少。