关于正交张量与最佳秩一近似比

众所周知，对于$m \times n$矩阵（$m \le n$），其谱范数与Frobenius范数之比的最小可能值为$1/\sqrt{m}$，仅由两两正交归一化行的矩阵达到（标量缩放下）。本文研究了$n_1 \times \dots \times n_d$阶$d$张量的谱范数与Frobenius范数之比的最小可能值，文献中也称之为最佳秩一近似比。对于大多数$n_1 \le \dots \le n_d$的配置，其确切值未知。利用实域上正交张量（复域上酉张量）的自然定义，证明了明显的下界$1/\sqrt{n_1 \cdots n_{d-1}}$当且仅当张量在标量缩放下为正交（酉）时达到。正交或酉张量是否存在取决于维数$n_1,\dots,n_d$和域。可建立三阶实正交张量的（非）存在性与合成代数经典Hurwitz问题的联系：尺寸为$\ell \times m \times n$的正交张量存在等价于三元组$[\ell,m,n]$可被Hurwitz问题接受。随后给出了对高阶张量的一些推论。例如，阶数$d \ge 3$的实正交$n \times \dots \times n$张量确实存在，但仅当$n = 1,2,4,8$时。在复数情况下，情况更为严峻：尺寸为$\ell \times m \times n$（$\ell \le m \le n$）的酉张量仅当$\ell m \le n$时存在。最后给出了谱范数计算的一些数值示例。