关于渐近锥上作用核的研究

任何有限生成群 $G$ 都以自然方式作用于其渐近锥上。本文旨在计算此类作用的核。首先，我们证明当 $G$ 为柱面双曲群时，其在每个渐近锥上的自然作用的核与 $G$ 的唯一极大有限正规子群 $K(G)$ 重合。其次，我们利用这一等价性，将渐近锥上作用的核解释为许多“无穷远”空间上作用的核。例如，若 $G \curvearrowright M$ 是一个非初等收敛群，则我们证明其在极限集 $L(G)$ 上作用的核与在渐近锥上作用的核重合。类似结果也可针对非平凡 Floyd 边界以及具有视觉边界、收缩边界和次线性 Morse 边界的 $\mathrm{CAT}(0)$ 群建立。此外，这些结果被推广到另一种称为 Paulin 构造的渐近锥作用上。在最后一节中，我们计算了各类群在渐近锥上的作用核，并作为一个应用，证明了在某些温和假设下，该核的基数可以决定该群是否容许非初等作用。