关于 $\overline{M}_{g,n}$ 的 $\kappa$ 环

令 $\kappa_e(\overline{M}_{g,n})$ 表示 $\overline{M}_{g,n}$ 在余维数 $e$ 处的 $\kappa$ 环。对于固定的 $g,e\geq 0$，当标记点数 $n$ 趋于无穷大时，我们证明 $\kappa_e(\overline{M}_{g,n})$ 的秩渐近于 $$\frac{{n+e\choose e}{g+e\choose e}}{(e+1)!}\simeq \frac{{g+e\choose e}n^e}{e!(e+1)!}.$$ 当 $g\leq 2$ 时，我们证明一个 $\kappa$ 类 $\kappa$ 为零，当且仅当 $\kappa$ 对所有边界 strata 的积分为零。对于 $g=1$，我们进一步证明 $\kappa_{n-d}(\overline{M}_{1,n})$ 的秩等于 $|P_1(d,n-d)|$，其中 $P_i(d,k)$ 表示 $d$ 的划分集合 $p=(p_1,...,p_\ell)$，满足 $p_1,...,p_\ell$ 中至多有 $k$ 个数大于 $i$。