论 $S^k$ 中极小超曲面的相交性

自 Frankel 的工作以来，人们知道在具有正 Ricci 曲率的流形中，两个紧致浸入的极小超曲面必定有一个交点。文献中可以找到该结果的若干推广，例如 Lawson、Petersen 和 Wilhelm 等人的工作。在 $S^k$ 的极小超曲面这一特殊情形下，我们证明了 Frankel 定理的一个更强版本。即，我们证明：若给定两个紧致极小超曲面 $M_1$, $M_2$ 以及一个点 $\mathbf{p}\in S^k$，则 $M_1$ 和 $M_2$ 在关于 $\mathbf{p}$ 的半球面内有一个交点。作为该结果的一个推论，我们对 Ros 关于 $S^3$ 中极小曲面的两片性质给出了一个适用于一般维数情况的替代证明。