关于特征函数的虚部

设 $f$ 为实直线 $\R$ 上概率测度的特征函数。本文处理 N.G. Ushakov 提出的以下问题：$f$ 是否从不被其虚部 $\Im f$ 所确定？换言之，对任意特征函数 $f$，是否存在特征函数 $g$ 使得 $\Im f\equiv \Im g$ 但 $f\not\equiv g$？我们在任意局部紧阿贝尔群上定义的特征函数这一更一般情形下研究该问题。给出了哪些特征函数由其虚部唯一确定的刻画。作为该刻画的推论，我们得到经典局部紧阿贝尔群上的若干常用特征函数由其虚部唯一确定。