关于控制仿射 Schrödinger 桥问题的 Hopf-Cole 变换

本文旨在阐明关系 $\boldsymbol{gg}^{\top}\propto \boldsymbol{\sigma\sigma}^{\top}$ 在通过 Hopf-Cole 变换求解控制仿射 Schrödinger 桥问题中的重要性，其中 $\boldsymbol{g},\boldsymbol{\sigma}$ 为控制系数和噪声系数。我们表明，针对通用控制仿射 Schrödinger 桥问题的最优性条件（即不假设 $\boldsymbol{gg}^{\top}\propto\boldsymbol{\sigma\sigma}^{\top}$）应用 Hopf-Cole 变换，可得一对前向-后向偏微分方程组，这些方程既非线性也非方程级解耦。我们解释了这些偏微分方程可如何被视作非线性前向-后向运动扩散-反应方程，其中非线性性源于由对数似然梯度（即得分函数）构成的额外漂移项和反应项。当 $\boldsymbol{gg}^{\top}\propto \boldsymbol{\sigma\sigma}^{\top}$ 时，这些额外漂移和反应项消失，剩余的边界耦合线性偏微分方程组可通过动态 Sinkhorn 迭代求解。我们的关键结论是，通用控制仿射 Schrödinger 桥的数值求解需要进一步的算法开发，可能是对动态 Sinkhorn 迭代的泛化或其他方法。