两个实 Bruhat 胞腔交集的同伦型

实 Bruhat 胞腔给出了诸如 $GL_{n+1}$、$Flag_{n+1} = SL_{n+1}/B$、$SO_{n+1}$ 和 $Spin_{n+1}$ 等空间的一个重要且被充分研究的层化。我们研究一个最高维胞腔与另一个胞腔（对应于另一组基）的交集。该交集可自然等同于下幂零群 $Lo_{n+1}^{1}$ 的一个子集。我们特别感兴趣于此类交集的同伦型。本文我们定义了此类交集的一个层化。作为结果，我们得到一个与该类交集同伦等价的有限 CW 复形。我们计算了若干例子的同伦型。结果表明，对于 $n \le 4$，$Lo_{n+1}^1$ 中此类子集的所有连通分支均为可缩的：我们通过显式构造相应的 CW 复形证明了这一点。反之，对于 $n \ge 5$ 及最高置换，总存在一个具有偶欧拉示性数从而不可缩的连通分支。这由相应 CW 复形各维胞腔数的公式得出。例如，对于最高置换 $S_6$，存在一个欧拉示性数等于 $2$ 的连通分支。我们还给出了 $S_6$ 中一个置换的例子，其存在一个与圆周 $S^1$ 同伦等价的连通分支。