关于弱分离与强分离集合复形的拓扑

我们考察集合 $[n]\!=\!\{1,2,\dots,n\}$ 的弱分离子集与强分离子集所对应图的团复形的拓扑,在删去所有锥点之后,分别记为 $\hat{\Delta}_{ws}(n)$ 与 $\hat{\Delta}_{ss}(n)$。具体地,我们证明当 $n\geq 4$ 时 $\hat{\Delta}_{ws}(n)$ 可缩,而 $\hat{\Delta}_{ss}(n)$ 同伦等价于一个 $n-3$ 维球面。我们还证明,上述同伦等价关于由 $\hat{\Delta}_{ws}(n)$ 与 $\hat{\Delta}_{ss}(n)$ 的两个特定对称性所生成的群是等变的:其中一个对称性由 $[n]$ 子集上的取补集作用诱导,另一个由将 $[n]$ 中每个 $k$ 替换为 $n+1-k$ 的作用诱导。