关于调和广义 Cauchy-Kovalevskaya 延拓及其与 Fueter-Sce 定理的联系

本文的首要目标之一是建立轴向调和函数的广义 Cauchy-Kovalevskaya 延拓。我们展示，该结果可表示为关于特定微分算子作用于两个初始函数后的 Bessel 类函数的幂级数。此外，我们分析了调和 Cauchy-Kovalevskaya 延拓相对于球面 $\mathbb{S}^{m-1}$ 上积分的分解，其中涉及平面波类型函数。本文的另一个关键目标是探讨调和 Cauchy-Kovalevskaya 延拓与 Fueter-Sce 定理之间的关系。Fueter-Sce 定理概述了从单复变函数构建 $\mathbb{R}^{m+1}$ 中轴向单形函数的两步过程。第一步生成切片单形函数的类别，而第二步通过对切片单形函数施加点态微分算子 $\Delta_{\mathbb{R}{^{m+1}}}^{\frac{m-1}{2}}$（其中 $m$ 为奇数），即称为 Fueter-Sce 映射，来产生轴向单形函数。通过对 Fueter-Sce 映射进行适当的因式分解，我们引入轴向调和函数的集合，这作为切片单形函数与轴向单形函数之间的中间类别。在本文中，我们在调和 Cauchy-Kovalevskaya 延拓与 Fueter-Sce 映射的因式分解之间建立了联系。这种联系导致了一种新的调和多项式概念，我们展示其形式成为 Riesz 势的基。最后，我们还构造了轴向调和函数空间的基。