Poisson 核与切片单演 Cauchy 核的 Fourier 变换

Fueter-Sce-Qian（简称 FSQ）映射定理是一个两步过程，将单复变全纯函数扩展为切片单演函数与单演函数。利用切片单演函数的 Cauchy 公式，FSQ 定理在 $n$ 为奇数时容许积分表示。在本文中，我们证明切片单演 Cauchy 核 $S_L^{-1}$ 与 F-核 $\mathcal{F}^L_n$ 之间的关系 $\Delta_{n+1}^{(n-1)/2}S_L^{-1}=\mathcal{F}^L_n$（其出现在 $n$ 为奇数时 FSQ 定理的积分形式中）在我们考虑维数 $n+1$ 中 Laplace 算子 $\Delta_{n+1}$ 的分数幂即 $n$ 为偶数时也成立。此外，该关系通过显式计算核 $S_L^{-1}$ 与 $\mathcal{F}^L_n$ 作为 Poisson 核函数的 Fourier 变换得以证明。类似结果对右核 $S_R^{-1}$ 与 $\mathcal{F}^R_n$ 成立。