Artin--Tits 幺半群的增长与偏 theta 函数

我们提出一种新方法，用以确定齐次 Garside 幺半群相对于由原子构成的有限生成集的增长函数。特别地，我们给出每个球型 Artin--Tits 幺半群（从而每个辫子幺半群）相对于标准生成元的增长函数公式，即一个非常简单的矩阵行列式的逆。利用此方法，我们证明 $A_n$ 型 Artin--Tits 幺半群（正辫子幺半群）的指数增长率当 $n$ 趋于无穷时趋于 $3.233636\ldots$。该数是众所周知的，因为它是经典偏 theta 函数唯一解 $x_0(y)=-(1+y+2y^2+4y^3+9y^4+\cdots)$ 的系数的增长率。我们还描述了由 $-x_0(y)$ 的系数构成的序列 $1,1,2,4,9,\ldots$，证明其第 $k$ 项（$y^k$ 的系数）等于在无限股正辫子幺半群 $A_{\infty}$ 中长度为 $k$ 且极大字典序表示以第一个生成元 $a_1$ 开头的辫子数。这是偏 theta 函数与辫子理论之间一个出乎意料的联系。