关于多边形域的测地中心

在本文中，我们研究计算具有总计 $n$ 个顶点的多边形域 $\mathcal{P}$ 的欧几里得测地中心的问题。我们有许多有趣的发现。我们给出了一个点成为测地中心的必要条件。我们证明在 $\mathcal{P}$ 中所有具有拓扑等价最短路径图的点中，至多存在一个测地中心。这意味着测地中心的总数受 $\mathcal{P}$ 的最短路径图等价分解的组合大小所限制，该大小已知为 $O(n^{10})$。一个关键发现是当点移动时最短路径长度的 $\pi$ 范围性质。基于这些发现，我们提出了一种在 $O(n^{11}\log n)$ 时间内计算所有测地中心的算法。此前，针对该问题已知有 $O(n^{12+\epsilon})$ 时间的算法，对任意 $\epsilon>0$。