关于二维 Gel'fand-Calder\'on 反问题

我们证明了二维 Schr"odinger 方程反边值问题的唯一性和稳定性。我们不假设势是连续的甚至是有界的。相反，我们假设它们的一些正分数阶导数位于特定的 Lorentz 空间中。这些空间是通常分数阶 Sobolev 空间的自然推广。本论文由两部分组成。在第一部分中，我们定义了广义分数阶 Sobolev 空间并证明了它们的一些性质，包括嵌入和插值恒等式。特别是，我们通过展示一种特定类型的空间嵌入到连续函数空间（无需任何连续性模）来 sharpen 通常的 Sobolev 嵌入到 H"older 连续函数空间的结果。反问题在论文的第二部分中考虑。我们为 $\partial$ 证明了一个新的 Carleman 估计。该估计具有快速衰减率，这将允许我们考虑正则性非常低的势。之后，我们利用 Bukhgeim 的振荡指数解、Alessandrini 恒等式和稳相法，从 Cauchy 数据的差异中获取关于势的差异的信息。稳定性估计将是对数类型的，但适用于低正则性的势。