关于超级星的固定概率

Moran 过程模拟了基因突变在种群中的传播。一个相对适应度为 $r$ 的突变体被引入种群，系统随之演化，要么达到固定（即每个个体都是突变体），要么灭绝（即没有个体是突变体）。在一篇被广泛引用的论文（Nature, 2005）中，Lieberman、Hauert 和 Nowak 将该模型推广到顶点位于图上的种群。他们描述了一类称为“超级星”（superstars）的图，其具有参数 $k$。超级星的设计旨在使固定概率随 $k$ 的增加而增加。他们指出，随着图变大，固定概率趋于 $1-r^{-k}$，但我们表明这一主张如所述并不正确。具体而言，对于 $k=5$，我们证明真正的固定概率（在图变大的极限情况下）至多为 $1-1/j(r)$，其中 $j(r)=\Theta(r^4)$，这与所声称的结果相悖。我们确实相信 Lieberman 等人提出的定性主张——即超级星的固定概率随 $k$ 增加而趋于 1——是正确的，并且可能可以按照他们的概要思路加以证明。我们能够运行比他们论文中展示的规模更大的计算机模拟。然而，对约 40,000 个顶点的图进行的模拟并不支持他们的主张。也许这些图太小，不足以表现出极限行为。