无向图上莫兰过程的选择放大器与抑制器

我们考虑经典的莫兰过程，其建模遗传突变的传播，并由 Lieberman 等人 (Nature, 2005) 推广到结构化种群。在此过程中，个体是连通图 $G$ 的顶点。初始时，存在一个单一突变顶点，均匀随机选取。在每步中，随机选取一个顶点进行繁殖，其概率正比于其适应度：突变体适应度 $r>1$，非突变体适应度 1。被选中繁殖的顶点将自身的一个副本放置到 $G$ 中一个均匀随机的邻居处，替换那里的个体。当突变要么达到固定（即所有顶点均为突变体），要么灭绝时，过程结束。关注的主要量是两种结果各自发生的概率。一个近期受到显著关注的问题涉及称为强选择放大器的一类图的存在性，其固定概率随图阶 $n$ 增加而趋于 1，以及强选择抑制器的存在性，其概率趋于 0。对于有向图情形，已知强放大器与抑制器均存在。然而对于无向图情形，该问题一直开放，且普遍看法认为既不存在强放大器也不存在抑制器。本文通过给出此类图的首次实例反驳了这一看法。我们给出的强放大器具有固定概率 $1-\tilde O(n^{-1/3})$，强抑制器具有固定概率 $\tilde O(n^{-1/4})$。两种图构造都惊人地简单。我们还证明了任意无向图固定概率的一般上界 $1-\tilde \Omega(n^{-1/3})$。因此，我们的强放大器在存在性意义上是最优的。