Moran过程的放大器

Lieberman、Hauert和Nowak所研究的Moran过程是一个随机算法，用于建模群体中基因突变的传播。该算法运行于底层图上，其中个体对应于顶点。初始时，一个顶点（均匀随机选取）具有适应度r>1的突变。所有其他个体的适应度为1。在算法的每一步中，一个个体按其适应度成比例的概率被选中，其状态（突变体或非突变体）传递给一个均匀随机选择的出邻点。如果底层图是强连通的，则算法最终将达到固定（所有个体均为突变体）或灭绝（没有个体为突变体）。一个有向图的无限族被称为强放大，如果对于每个r>1，随着顶点数增加，灭绝概率趋于0。Lieberman等人提出了两个潜在的强放大族——超级星和元漏斗。已有启发式论证认为存在强放大的超级星无限族。对于元漏斗也有同样主张。在本文中，我们给出首个严格证明：存在一个强放大的有向图无限族。我们将该族中的图称为“兆星”。当算法在此族的一个n顶点图上运行时，从均匀选取的突变体开始，灭绝概率大约为$n^{-1/2}$（相差对数因子）。我们证明所有超级星和元漏斗的无限族具有更大的灭绝概率（作为n的函数）。最后，我们证明对兆星的分析是相当紧的——不存在这样的兆星无限族，使得Moran算法给出更小的灭绝概率（相差对数因子）。